Αρχικά αφαιρούμε το δέρμα και τα εντόσθια από το κοτόπουλο, το πλένουμε καλά και το τεμαχίζουμε σε μικρότερα κομμάτια. Βράζουμε το κοτόπουλο σε μία κατσαρόλα με νερό σε μέτρια φωτιά μέχρι να μαλακώσει. Ξαφρίζουμε στα πρώτα λεπτά του βρασμού όπου σχηματίζεται αφρός στην επιφάνεια, αφαιρώντας το με μία κουτάλα.

Όταν είναι έτοιμο, κόβουμε σε μικρά καρέ το καρότο και το κρεμμύδι και τα ρίχνουμε μέσα στην κατσαρόλα. Μόλις πάρουν μία βράση ρίχνουμε και το ρύζι. Προσθέτουμε αλάτι και το ελαιόλαδο και βράζουμε μέχρι να είναι έτοιμο και το ρύζι 20 λεπτά περίπου.

Για το αυγολέμονο: σε ένα μπολ χτυπάμε το αυγό και λίγο λίγο ρίχνουμε, συνεχίζοντας το χτύπημα, το λεμόνι. Παίρνουμε λίγο ζωμό από την κατσαρόλα και αραιώνουμε το αυγολέμονο για να εξισορροπήσουμε τη θερμοκρασία του αυγού, πάντα χτυπώντας το μείγμα με σύρμα.

Περιχύνουμε το αυγολέμονο στην κοτόσουπα πριν την κατεβάσουμε από τη φωτιά και ανακατεύουμε.. Κατεβάζουμε αμέσως από τη φωτιά. πασπαλίζουμε με φρεσκοτριμμένο πιπέρι και λίγες σταγόνες ελαιόλαδο και την σερβίρουμε ζέστη.