Σε μια κατσαρόλα ρίχνουμε το γάλα, το αλάτι, τη ζάχαρη και το βούτυρο και τοποθετούμε τη κατσαρόλα πάνω σε χαμηλή φωτιά. Όταν γίνει χλιαρό αποσύρουμε από τη φωτιά και προσθέτουμε τη μαγιά, το αυγό και λίγο λίγο το αλεύρι. Ζυμώνουμε με τα χέρια μας πάρα πολύ καλά μέχρι που να μας βγει μια λεία ζύμη.Αν χρειαστεί μπορούμε να συμπληρώσουμε λίγο αλεύρι ακόμα. Βάζουμε πάλι τη ζύμη μας στη κατσαρόλα,τη σκεπάζουμε με μια πετσέτα και τη βάζουμε σε ένα μέρος μέχρι να φουσκώσει και να πάρει όγκο η ζύμη μας

Την αφήνουμε για περίπου 120 λεπτά για να διπλασιαστεί. Παίρνουμε ξανά τη ζύμη που έχει φουσκώσει και την ξαναζυμώνουμε.
Τη χωρίζουμε σε μπάλες και την βάζουμε πάνω στη παλάμη μας πατώντας την για να ανοίξει και να πλατύνει. Τοποθετούμε το λουκάνικο στο κέντρο και λίγο κέτσαπ. Έχουμε δίπλα ένα ποτήρι νερό βρέχουμε κυκλικά το ζυμάρι στις άκρες. Κλείνουμε καλά για να κολλήσει. Τα τοποθετούμε πάνω σε λαδόκολλα σε σημείο που να έχει ζέστη για να διπλασιαστεί η ζύμη. Όταν τα τελειώσουμε όλα βάζουμε

Σε ένα τηγάνι μπόλικο λάδι, το αφήνουμε να κάψει και ρίχνουμε μέσα σε αυτό τα πιροσκί μας ένα ένα. Τα αφήνουμε να ροδίσουν από όλες τις μεριές. Όταν είναι έτοιμα τα βγάζουμε με τρυπητή κουτάλα και τα τοποθετούμε σε πιατέλα που έχουμε στρώσει με μπόλικο απορροφητικό χαρτί για να ρουφήξουν τα λάδια. Μπορούμε να τα σερβίρουμε κρύα η ζεστά και αν μας περισσέψουν πολλά τα τυλίγουμε σε λαδόκολλα και τα αποθηκεύουμε στην κατάψυξη του ψυγείου μας