Ζυμώνουμε καλά τα υλικά με τα χέρια για 5-6 λεπτά να ενωθούν και να πάρουμε ένα ομοιογενές μείγμα. Το ρύζι προστίθεται ωμό, θα μαγειρευθεί μαζί με τον κιμά. Καλύπτουμε και αφήνουμε το μείγμα να ξεκουρασθεί στο ψυγείο για περίπου μισή ώρα.

Ρίχνουμε μπόλικο αλεύρι σε ένα ρηχό πιάτο και, ρολάροντας εκεί μέσα τα γιουβαρλάκια μας, δύο-δύο ή τρία-τρία τη φορά, τα αλευρώνουμε καλά.

Τινάζουμε να φύγει το περιττό αλεύρι και τα ακουμπούμε σε ένα άλλο στεγνό πιάτο.

Περνάμε στην ετοιμασία της σούπας. Σε μια βαθιά κατσαρόλα και πάνω από μέτρια φωτιά λιώνουμε το βούτυρο. Μόλις το βούτυρο λιώσει και αρχίσει να αφρίζει (ένδειξη ότι έχει ζεσταθεί καλά) προσθέτουμε την πατάτα, κομμένη σε μικρά κυβάκια. Προσθέτουμε και το καρότο, κομμένο και αυτό σε μικρά (ακόμη μικρότερα) κυβάκια. Αυξάνουμε την ένταση στο μέτριο-προς-δυνατό και σοτάρουμε τα λαχανικά για 4-5 λεπτά, να μαλακώσουν κάπως.

Προσθέτουμε και το ρύζι και, πάνω από την ίδια μέτρια-προς-δυνατή φωτιά, το σοτάρουμε και αυτό, ανακατεύοντας το απαλά, να γυαλίσει και να “θωρακισθούν” εξωτερικά οι κόκκοι του. Για 2 με 3 λεπτά. Τα λαχανικά θα έχουν φθάσει τα 6 με 8 λεπτά και θα είναι πλέον σχετικά μαλακά.

Προσθέτουμε τον ζωμό, τον οποίο έχουμε ζεστάνει καλά σε μία παραδιπλανή εστία, κανονίζουμε στο αλάτι και το πιπέρι, τον φέρνουμε σε βρασμό και από το σημείο αυτό βράζουμε για περίπου 6-8 λεπτά. Προσοχή στο αλάτι γιατί ο ζωμός, ακόμη και με σπιτικούς κύβους, το έχει το αλατάκι του…

Προσθέτουμε σταδιακά τα αλευρωμένα γιουβαρλάκια μας, με τη βοήθεια μίας τρυπητής κουτάλας (για να μη καούμε) Τα προσθέτουμε λίγα-λίγα για να μη διακόψουμε το βρασμό στην κατσαρόλα.

Μειώνουμε και πάλι την ένταση στο μέτριο (ίσως και λίιιιιγο χαμηλότερα) και συνεχίζουμε το μαγείρεμα σε μέτρια φωτιά για περίπου 20 με 25 λεπτά. Ελέγχουμε το φαγητό για να προλάβουμε να παραβράσουν και να διαλυθούν τα γιουβαρλάκια. Ελέγχουμε και, αν υπάρχει ανάγκη, προσθέτουμε λίγο ακόμη νερό, λαμβάνοντας υπ’ όψη ότι με το χυμό του λεμονιού και τα αυγά που θα προστεθούν με το αυγολέμονο, θα πρέπει να μείνει αρκετή βελούδινη και πλούσια σαλτσούλα.

Ξεκινούμε το αυγολέμονο: Χωρίζουμε τους κρόκους από τα ασπράδια των αυγών (σε θερμοκρασία περιβάλλοντος) και φιλτράρουμε το φρεσκοστυμμένο χυμό λεμονιού (επίσης σε θερμοκρασία περιβάλλοντος). Σε ένα ευρύχωρο μπολ κτυπούμε καλά τα ασπράδια των αυγών με ένα μεταλλικό αυγοδάρτη και με έντονες κινήσεις, να γίνουν μία ελαφρά σφικτή μαρέγκα, ίσα που να σχηματίζονται απαλές κορυφές. Τα ασπράδια θέλουν πολύ καλό, έντονο κτύπημα για να ενσωματώσουν αέρα και να γίνει αφράτο, κρεμώδες το αυγολέμονο.

(καλόν είναι το μπολ μας να είναι μεταλλικό, αφ’ ενός μεν επειδή η λεία και χωρίς τις χαρακιές των πλαστικών σκευών όπου μπορεί να καιροφυλακτούν κρυμμένα λίπη βοηθά στην επιτυχία μίας σταθερής μαρέγκας, αλλά και επειδή το μέταλλο θα απορροφήσει μέρος της θερμότητας του ζωμού που θα προσθέσουμε στη συνέχεια).

Στη συνέχεια προσθέτουμε έναν-έναν τους κρόκους και, με πιο απαλές κινήσεις τώρα για να μη καταστρέψουμε τις φυσαλίδες αέρα που με τόσο κόπο φυλακίσαμε μέσα στα ασπράδια, ανακατεύουμε με το σύρμα και τα ενσωματώνουμε στη μαρέγκα, η οποία θα γίνει πλέον πιο παχύρρευστη. Μαζί με κάθε κρόκο προσθέτουμε και μερικές σταγόνες από το χυμό του λεμονιού. Θυμάστε πως έχουμε πει ότι ο χυμός λεμονιού (ΚΑΙ Όχι ΤΟ Αλάτι) είναι που βοηθούν τη μαρέγκα να πήξει και να παραμείνει σφικτή, χωρίς να βγάζει υγρά)

Προσθέτουμε σταδιακά και σε λεπτή ροή τον υπόλοιπο χυμό του λεμονιού και ανακατεύουμε με το σύρμα για να ενωθούν καλά τα υλικά σε ένα ομοιογενές μείγμα. Εάν θέλουμε, μπορούμε να διαλύσουμε στο χυμό των λεμονιών και 1 κουταλάκι corn flour. Χωρίς να είναι απαραίτητο, θα βοηθήσει τη σούπα μας να πήξει περισσότερο. Επίσης, το corn flour είναι απαραίτητο, εάν πρόκειται να ξαναζεστάνουμε το φαγητό (πάντα σε πολύ χαμηλή φωτιά), για να μη μας κόψει το αυγολέμονο.

Με μια κουτάλα παίρνουμε ποσότητες από τη ζεστή σούπα της κατσαρόλας (αποφεύγουμε να πάρουμε μαζί και λαχανικά, ιδιαίτερα πατάτες) και την προσθέτουμε αργά και προσεκτικά (και εδώ σε λεπτή ροή) στο αυγολέμονο, ανακατεύοντας κάθε φορά καλά πριν περάσουμε στην επόμενη ποσότητα. Το ζητούμενο είναι να αυξήσουμε σταδιακά τη θερμοκρασία του αυγολέμονου και να τη φέρουμε όσο πιο κοντά στη θερμοκρασία της ζεστής σούπας στην κατσαρόλα.

Όταν το μείγμα αυγολέμονου/σούπας ζεσταθεί πολύ (θα χρειασθεί να προσθέσουμε, προοδευτικά, τη μισή από την ποσότητα της ζεστής σούπας), το αδειάζουμε στην κατσαρόλα με το φαγητό και κινώντας κυκλικά την κατσαρόλα αναδεύουμε το φαγητό (δεν το ανακατεύουμε, δηλαδή) να αναμειχθεί το αυγολέμονο με την υπόλοιπη σούπα. Θα πρέπει η σούπα να φθάσει να αφρίσει και να γίνει κρεμώδης.

Αποσύρουμε και πάλι από την εστία την κατσαρόλα (εξακολουθεί να υπάρχει ο κίνδυνος να πήξει το αυγά σε ομελέτα).

Σερβίρουμε τα γιουβαρλάκια αυγολέμονο ζεστά, με φρεσκοτριμμένο πιπέρι (ίσως και με λίγο άνηθο πολύ λεπτά ψιλοκομμένο) και απολαμβάνουμε ένα υπέροχο πιάτο.