Καθαρίζετε τις φλούδες από τις πατάτες και τις βράζετε σε αλατισμένο νερό μέχρι να μαλακώσουν καλά. Τις στραγγίζετε, τις τοποθετείτε σε μεγάλο μπολ και τις πολτοποιείτε σε πουρέ. Προσθέστε μια πρέζα αλάτι, το τριμμένο τυρί, το αυγό ελαφρώς χτυπημένο και το αλεύρι σταδιακά μέχρι να έχετε μια λεία ζύμη.

Παίρνετε ένα τηγάνι διαμέτρου 24 εκ. και το στρώνετε στη βάση και τα τοιχώματά του με χαρτί ψησίματος. Τοποθετείτε μέσα τη μισή ζύμη πατάτας και την απλώνετε ισομερώς, με αλευρωμένα χέρια, στη βάση του τηγανιού. Στρώνετε από πάνω τις φέτες ζαμπόν και τυριού.(βλέπε πιο κάτω φωτογραφίες με την εκτέλεση της συνταγής.)

Στρώνετε στο πάγκο εργασίας σας χαρτί ψησίματος, τοποθετείτε στο κέντρο της την άλλη μισή ζύμη πατάτας και με αλευρωμένα χέρια την ανοίγετε 1-2 εκ. μεγαλύτερη από τη προηγούμενη. Τη τοποθετείτε πάνω από το ζαμπόν και το τυρί και τη “σφραγίζετε” γύρω γύρω περιμετρικά με τη κάτω ζύμη, ώστε να “θωρακιστεί” καλά το τυρί και το ζαμπόν.

Τοποθετείτε το τηγάνι στο μάτι της κουζίνας σας, σε μέτρια φωτιά, μαζί με το χαρτί ψησίματος στο κάτω μέρος και το τηγανίζετε μέχρι να ροδοκοκκινίσει καλά από τη κάτω πλευρά.

Όταν είναι έτοιμο από τη κάτω πλευρά, σκεπάζετε από πάνω τη πίτσα με το δεύτερο χαρτί ψησίματος που χρησιμοποιήσατε για το επάνω μέρος που σκεπάσατε το μείγμα, και με το καπάκι τη γυρίζετε και από την άλλη πλευρά. Ψήνετε και από αυτή τη πλευρά μέχρι να ροδοκοκκινίσει. Τη βγάζετε από τη φωτιά τη βουρτσίζετε με το βούτυρο και τη σερβίρετε ζεστή.

Εναλλακτικά: Μπορείτε, αντί να τη τηγανίσετε, να ψήσετε τη πίτσα σας σε προθερμασμένο στους 200 βαθμούς φούρνο για 15 λ ή μέχρι να ροδίσει!