Προθερμαίνω το φούρνο στους 200°C.

Σε ένα μπολ ανακατεύω το αλεύρι, ελάχιστο αλάτι, το μπέικιν πάουντερ, τη σόδα και την κανέλα.

Σε ένα άλλο, μεγάλο μπολ χτυπάμε με το μίξερ τα αυγά με τη ζάχαρη, μέχρι το μείγμα να αφρατέψει και να ασπρίσει. Προσθέτω το ελαιόλαδο και συνεχίζω το χτύπημα. Σταδιακά, προσθέτω το μείγμα αλευριού σταδιακά, συνεχίζοντας το χτύπημα, μέχρι να φτιάξω ενιαίο, ομοιογενές μείγμα. Τέλος, ρίχνω τα τριμμένα καρότα και τη φουντουκόψιχα ή την καρυδόψιχα και ανακατεύω με μια σπάτουλα.

Βουτυρώνω ελαφρώς μια μέτρια φόρμα για κέικ, με τρύπα στη μέση και αδειάζω το μείγμα. Ψήνω το κέικ για 50-55 λεπτά, μέχρι να φουσκώσει καλά. Για να δω αν είναι έτοιμο, βυθίζω τη λάμα ενός μαχαιριού στο κέικ: πρέπει να βγει καθαρή, χωρίς υπολείμματα. Βγάζω τη φόρμα από το φούρνο, αφήνω το κέικ να κρυώσει για 5 λεπτά μόνο και το ξεφορμάρω. Το αφήνω να κρυώσει πάνω σε μια σχάρα –έτσι, δεν θα εγκλωβιστεί ατμός στο εσωτερικό του και θα παραμείνει αφράτο.

Για το γλάσο: Χτυπάω με το μίξερ τη ζάχαρη άχνη και το βούτυρο, μέχρι να φτιάξω ένα αφράτο μείγμα. Προσθέτω το τυρί κρέμα και τη σκόνη βανίλια και ανακατεύω με μια σπάτουλα. Απλώνω το γλάσο πάνω στο κέικ καρότου και το σερβίρω, κομμένο σε φέτες.