Σε κατσαρολάκι με σχετικά μεγάλη επιφάνεια λιώνουμε το βούτυρο και ρίχνουμε λίγο πιπέρι.

Προσθέτουμε λίγο λίγο όλο το αλεύρι ενώ ανακατεύουμε παράλληλα καλά με ένα σύρμα χειρός ώστε να μην σβολιάσει το μείγμα μας.

Ρίχνουμε σιγά σιγά και το γάλα ανακατεύοντας συνεχώς. Στην αρχή το μείγμα θα είναι σφιχτό αλλά όσο προσθέτουμε το γάλα θα αραιώνει. Είναι σημαντικό το γάλα να πέφτει με μικρή ροή ώστε να προλαβαίνει να ενσωματώνεται πλήρως.

Αφήνουμε το μείγμα να πάρει μια βράση ενώ εξακολουθούμε να ανακατεύουμε ώστε να μην κολλήσει η μπεσαμέλ στον πάτο της κατσαρόλας.

Αποσύρουμε από τη φωτιά και ρίχνουμε το αυγό αναδευοντας ζωηρά ώστε να μην προλάβει να ψηθεί το αυγό και δημιουργήσει κομματάκια πριν ενσωματωθεί στο μείγμα.

Σε αυτή τη φάση ρίχνουμε προαιρετικά και το τριμμένο τυρί και ανακατεύουμε μέχρι να λιώσει. Σημειώστε ότι έτσι η υφή της μπεσαμέλ θα γίνει πιο "μαστιχωτή".

Επαναφέρουμε στη φωτιά και εξακολουθούμε να ανακατεύουμε έως ότου αποκτήσει βελούδινη υφή και πυκνή σύσταση, όχι όμως και σφιχτή σαν χυλός.

Τέλος, προσθέτουμε αλάτι και πιπέρι κατά βούληση. Εάν έχουμε προσθέσει και τυρί, προσέχουμε το αλάτι καθώς είναι και το ίδιο αλμυρό.