Στον κάδο του μίξερ βάζουμε το γάλα, τη μαγιά, τη ζάχαρη και ανακατεύουμε με το σύρμα.

Προσθέτουμε τα αυγά, το αλεύρι και το αλάτι.

Χτυπάμε με το γάντζο για 6-8 λεπτά μέχρι να δημιουργηθεί η ζύμη μας.

Προσθέτουμε το βούτυρο και χτυπάμε σε χαμηλή ταχύτητα.

Στη συνέχεια παίρνουμε τη ζύμη μας κι αρχίζουμε και ζυμώνουμε στον πάγκο μας.

Την κόβουμε σε 10 κομμάτια. Τα πλάθουμε έτσι ώστε να έχουν ένα στρογγυλό σχήμα.

Τα αφήνουμε να ξεκουραστούν για 1 ώρα.

Στο μεταξύ ζυμώνουμε τον κιμά μας με όλα τα υλικά και τον βάζουμε στο ψυγείο.

Αφού περάσει η 1 ώρα ψήνουμε τα ψωμάκια στους 180 για 20 λεπτά.

Σε ένα τηγάνι με 1 και.σ. λάδι ψήνουμε τα μπιφτέκια μας.

Ταυτόχρονα σε ένα άλλο τηγάνι φτιάχνουμε τη γέμιση μας. Βάζουμε το κρεμμύδι την πιπεριά και να μανιτάρια στο τηγάνι, αλατοπιπερωνουμε και ρίχνουμε μια πρέζα ζάχαρη.

Για τη σος ανακατεύουμε όλα τα υλικά μας.

Όταν είναι όλα τα υλικά μας έτοιμα αρχίζουμε τη σύνθεση του μπέργκερ. Βάζουμε και στο κάτω και στο πάνω ψωμάκι σος. Στη συνέχεια τοποθετούμε το μπιφτέκι και πάνω του βάζουμε τυρί και τη γέμιση κλείνουμε το μπέργκερ και καρφώνουμε στη μέση μια οδοντογλυφίδα για να μη διαλυθεί.

Σερβίρουμε με πατάτες τηγανίτες ή σαλάτα.