Καθαρίζουμε και βράζουμε τις πατάτες, σε κομμάτια κομμένες. Σοτάρουμε με λάδι τον κιμά μέχρι να ψηθεί καλά και να μη είναι σε σβόλους. Πολτοποιούμε τις πατάτες βάζοντας το βούτυρο μέσα σε κομματάκια. Προσθέτουμε την κρέμα γάλακτος και ανακατεύουμε καλά. Περνάμε από τον τρίφτη τα κρεμμύδι και τα καρότα, τα βάζουμε μετά που είναι έτοιμος ο κιμάς μαζί του και ανακατεύουμε για λίγα λεπτά.

Σε βαθύ πυρίμαχο σκεύος βάζουμε τον κιμά και από πάνω τοποθετούμε την πατάτα. Ποιο πάνω βάζουμε το τριμμένο τυρί. Σε προθερμασμένο στους 180 βαθμούς τοποθετούμε το σκεύος μας για 20 λεπτά έως ότου κάνει κρούστα το τυρί.