Πλένουμε το κοτόπουλο και το βάζουμε σε κατσαρόλα με μπόλικο νερό μαζί με τα καρότα και τις πατάτες για να βράσουν.

Μόλις έρθει σε βρασμό, προσθέτουμε το αλάτι και ταυτόχρονα ξαφρίζουμε όταν πρέπει. Χαμηλώνουμε την φωτιά, μισοσκεπάζουμε την κατσαρόλα μας, και μαγειρεύουμε για 45' μέχρι να είναι έτοιμο το κοτόπουλο μας.

Μόλις βράσουν, τα βγάζουμε από την κατσαρόλα και τα αφήνουμε στην άκρη για δέκα λεπτά να κρυώσουν. Κρατάμε από τον ζωμό που έχουμε τα 400 ml στην άκρη. Στον ζωμό που έχει μείνει στην κατσαρόλα μας ρίχνουμε το ρύζι μας και το βράζουμε για 15'.

Μέχρι να βράσει το ρύζι, καθαρίζουμε το κοτόπουλο μας και κόβουμε τα λαχανικά μας σε κυβάκια. Τα προσθέτουμε πάλι πίσω στην κατσαρόλα μας με το ρύζι που βράζει.

Ρίχνουμε λίγο ακόμη αλάτι αν θέλουμε, πιπέρι και βράζουμε για 5 λεπτά. Αποσύρουμε την κατσαρόλα μας από την φωτιά και ετοιμάζουμε το αυγολέμονο. Χωρίζουμε τον κρόκο από το ασπράδι του αυγού, και με σύρμα χειρός χτυπάμε για λίγο πρώτα το ασπράδι. Στην συνέχεια προσθέτουμε τον κρόκο, τον χυμό λεμονιού και σιγά σιγά ρίχνουμε λίγο από τον ζωμό που έχουμε κρατήσει στην άκρη.

Ανακατεύουμε το αυγολέμονο καλά. Το ρίχνουμε στην σούπα μας, πιάνουμε την κατσαρόλα μας από τα χερούλια, και με κυκλικές κινήσεις ανακατεύουμε. Η σούπα μας είναι έτοιμη. Σερβίρουμε ζεστή ή και κρύα με μερικές σταγόνες ελαιόλαδο και φρέσκο τριμμένο πιπέρι. Καλή μας όρεξη!