Σε κατσαρόλα ζεσταίνω το ελαιόλαδο και σοτάρω τα πράσα σε μέτρια φωτιά για 5-6 λεπτά, να γινουν διάφανα. Κρατάμε 2 κ. σούπας πράσα για να σερβίρω τα πιάτα στο τέλος.

Προσθέτω τις κομμένες πατάτες, τον ζωμό ή το νερό και το γάλα. Αφήνω να πάρει βράση, σκεπάζω την κατσαρόλα και αφήνω να σιγοβράσουν τα λαχανικά για 25 με 30 λεπτά! Τα τλευταία 5' αρωματίζω με το θυμάρι. Αφήνω να κρυώσει η σούπα για 10'. Αφαιρώ το θυμάει (αν είναθι φρέσκο) και πολτοποιώ τα λαχανικά στο μπλέντερ.

Ξαναβάζω την σούπα στην κατσαρόλα. Αλατοπιπερώνω και προσθέτω τον μαιντανό. Εάν σε αυτό το σημείο η βελουτέ μας φένεται "παχιά", μπορούμε να την αραιώσουμε με λίγο ζωμό ή με ζεστό γάλα. Μοιράζω σε βαθιά πιάτα και προσθέτω μια κ. σούπας γιαούρτι στο κέντρο κάθε μερίδας. Γαρνίρω με σοταρισμένα πράσα και σερβίρω με πιπέρι.