Πλένω και σκουπίζω τις μελιτζάνες. Κόβω και πετάω τα κοτσάνια τους και κόβω ένα λεπτό «καπάκι» από την καθεμία, το οποίο πετάω. Με μαχαίρι χαράζουμε σταυρωτά τη σάρκα.Με ένα κουτάλι αφαιρώ προσεκτικά την περισσότερη ψίχα κάθε μελιτζάνας, αφήνοντας περίπου 1 εκ. πάχος κοντά στη φλούδα.

Βάζω την ψίχα σε ένα μπολ, την αλατίζω και την αφήνω κατά μέρος.

Αλατίζω εσωτερικά τις άδειες μελιτζάνες και τις αφήνω αναποδογυρισμένες για περίπου 1 ώρα.

Προθερμαίνω το γκριλ στους 200ºC βαθμούς. Ξεπλένω τις μελιτζάνες και τις σκουπίζω καλά μέσα κι έξω με χαρτί κουζίνας. Τις λαδώνω με το ελαιόλαδο, τις αραδιάζω σε ένα ταψί, με την κοιλότητα προς τα πάνω, και τις ψήνω για περίπου 30 λεπτά. μέχρι να μαλακώσουν και να ροδίσουν ελαφρά. Τις βγάζω και τις αφήνω να κρυώσουν.

Ξεπλένω την ψίχα της μελιτζάνας και τη σκουπίζω καλά με χαρτί κουζίνας. Την ψιλοκόβω και την αφήνω κατά μέρος.

Βάζω να ζεσταθεί μια φαρδιά και ρηχή κατσαρόλα σε δυνατή φωτιά, μέχρι να κάψει πολύ καλά. Ρίχνω τον κιμά και τον ανακατεύω γρήγορα και έντονα με μια ξύλινη κουτάλα για περίπου 8 λεπτά. Τον αφήνω να ροδίσει και να καβουρδιστεί καλά, να αρχίσει να κολλάει στον πάτο της κατσαρόλας και να μυρίζει ωραία, σαν ψητό κρέας. Τότε ρίχνω το κρεμμύδι, το σκόρδο, την κομματιασμένη ψίχα από τις μελιτζάνες,το καρότο και συνεχίζω για άλλα 2 - 3 λεπτά, ανακατεύοντας. Ρίχνω το ελαιόλαδο και σοτάρω ανακατεύοντας για 2 - 3 λεπτά, μέχρι ο κιμάς να έχει «πιάσει» καλά στον πάτο της κατσαρόλας. Σβήνω με το κρασί, το αφήνω να βράσει για 1 λεπτό, ξύνοντας τον πάτο της κατσαρόλας με την ξύλινη κουτάλα για να ξεκολλήσουν τα καμένα υπολείμματα, και προσθέτω τις ντομάτες,τον πελτέ,τον κύβο,αλάτι και πιπέρι. Μόλις το μείγμα πάρει μια βράση ρίχνω περίπου 1 νεροπότηρο νερό και χαμηλώνω τη φωτιά.

Μισοσκεπάζω την κατσαρόλα και μαγειρεύω τον κιμά για 40-50 λεπτά μέχρι να μαλακώσει και να σωθούν τα περισσότερα υγρά. Προς το τέλος του μαγειρέματος αρωματίζουμε με την δάφνη και την κανέλα για λίγα λεπτά. Τα αφαιρούμε. Αποσύρω από τη φωτιά, προσθέτω το τυρί και το βασιλικό και ανακατεύω καλά. Αν το μείγμα είναι ακόμα ζουμερό, ρίχνω 1 - 2 κουτ. σούπας τριμμένη φρυγανιά και ανακατεύω.

Ετοιμάζουμε την μπεσαμέλ. Ζεσταίνουμε το βούτυρο με το αλεύρι και ανακατεύουμε καλά μέχρι να καβουρδιστεί λίγο το αλεύρι. Προσθέτουμε λίγο λίγο το γάλα και ανακατεύουμε με σύρμα ώστε να μην σβολιάσει. Όταν αρχίσει να δένει προσέχουμε ακόμα περισσότερο μην αρπάξει από κάτω και μαυρίσει. Εκτός φωτιάς προσθέτουμε τον κρόκους. Τέλος προσθέτουμε αλάτι, πιπέρι, μοσχοκάρυδο και το τυρί.

Γεμίζω τις μελιτζάνες μέσα στο ταψί, με το μείγμα του κιμά και καλύπτω καλά τον κιμά σε κάθε μελιτζάνα με την μπεσαμέλ. Αν περισσέψει κιμάς τον απλώνω στο ταψί, ανάμεσα στις μελιτζάνες. Εκεί τακτοποιώ και τις πατάτες και ρίχνω 1 νεροπότηρο νερό και 100 ml ελαιόλαδο. Ανακατεύω προσεκτικά με ένα πιρούνι, χωρίς να μετακινήσω τις μελιτζάνες.

Προθερμαίνω το φούρνο στους 200ºC στις αντιστάσεις πάνω κάτω. Βάζω το ταψί στο μεσαίο ράφι του φούρνου και ψήνω τα «παπουτσάκια» για 50 λεπτά με 1 ώρα, μέχρι η μπεσαμέλ να ροδίσει ωραία και να μαλακώσουν οι μελιτζάνες και οι πατάτες