Προθερμαίνουμε το φούρνο στους 180 βαθμούς πάνω κάτω.

Ετοιμάζουμε τη ζύμη: Ρίχνουμε στο μπολ του μίξερ το αλεύρι με το βούτυρο τη ζάχαρη και αλάτι και χτυπάμε σε χαμηλή ταχύτητα. Προσθέτουμε τη βανίλια, και το ξύσμα λεμονιού και συμπληρώνουμε στο τέλος με το παγωμένο γάλα.

Μόλις ξεκολλάει η ζύμη από τα τοιχώματα (δεν πρέπει να κολλάει στα δάχτυλά μας) σταματάμε το μίξερ τυλίγουμε τη ζύμη σε διάφανη μεμβράνη και βάζουμε στο ψυγείο για 1/2 ώρα.

Βγάζουμε τη ζύμη από το ψυγείο και κόβουμε λίγο περισσότερο από το μισό για να ανοίξουμε το κάτω φύλλο και την υπόλοιπη ζύμη τη βάζουμε πάλι στο ψυγείο.

Ανοίγουμε το φύλλο σε 1 εκ.πάχος περίπου ανάμεσα σε 2 λαδόκολλες και το στρώνουμε σε μικρό ταψί για 8 μερίδες. Τρυπάμε κατα τόπους με πιρούνι τη ζύμη για να μην φουσκώσει όταν ψήνεται και βάζουμε στο ψυγείο.

Κόβουμε σε μικρά κομματάκια τις φράουλες πασπαλίζουμε με τη ζάχαρη και το λικέρ προσθέτουμε το ξύσμα λάιμ και το κόρν φλάουρ και ανακατεύουμε καλά. Βγάζουμε το ταψί από το ψυγείο και ρίχνουμε μέσα τις φράουλες.

Παίρνουμε την υπόλοιπη ζύμη από το ψυγείο και ανοίγουμε το δεύτερο φύλλο που θα καλύψουμε τις φράουλες. Σκεπάζουμε τις φράουλες με το πάνω φύλλο και με το κάτω φύλλο που προεξέχει κλείνουμε καλά γύρω γύρω τις άκρες και τυλίγουμε προς τα μέσα.

Χαράζουμε ελαφρά την πίτα μας σε μερίδες και ψήνουμε στο φούρνο μέχρι να ροδίσει. Αφήνουμε να κρυώσει και πασπαλίζουμε με άχνη ζάχαρη.. Καλοφάγωτη.