Καθαρίζουμε και κόβουμε τις πατάτες σε χοντρές φέτες, τις βράζουμε 15 λεπτά, στραγγίζουμε και απλώνουμε στο ταψί μας.

Πλένουμε τις μελιτζάνες, τις κόβουμε φέτες, τις απλώνουμε σε ταψί με λαδόκολλα, περιχύνουμε μερικές σταγόνες λάδι και ψήνουμε στο φούρνο στους 200 βαθμούς για περίπου 20 λεπτά.

Βάζουμε στο μπλέντερ το κρεμμύδι με το μαϊντανό, τα αλέθουμε και τα τσιγαριζουμε με λίγο λάδι σε μια κατσαρολιτσα.

Έπειτα ρίχνουμε μέσα τον κιμά, τσιγαριζουμε μέχρι να φύγει το κόκκινο χρώμα, ρίχνουμε τις ντομάτες, αφού τις περάσουμε στον τρίφτη, ζάχαρη, αλάτι, πιπέρι και λίγη κανέλα και βράζουμε για 15 λεπτά.

Σε ένα μπολ βάζουμε το αλεύρι, λίγο αλάτι, τον κύβο λαχανικών και 1 ποτήρι γάλα και ανακατεύουμε καλά. Βάζουμε το υπόλοιπο γάλα να βράσει και μόλις αρχίσει να φουσκώνει, ρίχνουμε μέσα το μείγμα με το αλεύρι και ανακατεύουμε συνεχώς μέχρι να πήξει.

Όταν πήξει το κατεβάζουμε από τη φωτιά και ρίχνουμε μέσα το βούτυρο και το αβγό και ανακατεύουμε καλά με ένα σύρμα.

Απλώνουμε τον κιμά πάνω από τις πατάτες, μετά τις μελιτζάνες, έπειτα την κρέμα, πασπαλίζουμε με την παρμεζάνα και ψήνουμε στους 200 βαθμούς μέχρι να ροδοκοκκινήσει η επιφάνεια του μουσακά.