Κόβουμε σε λεπτές φέτες τις μελιτζάνες και τις βάζουμε σε ένα μπολ με νερό και αλάτι για περίπου 2 ώρες στη συνέχεια τις στραγγίζουμε και τις τοποθετούμε σε χαρτί κουζίνας για να τραβήξει τα υγρά.

Τις απλώνουμε σε ένα μεγάλο ταψί τις αλείφουμε λάδι και τις ψήνουμε στους 180°C μέχρι να πάρουν ένα ωραίο χρυσαφί χρώμα.

Κιμάς: Σε ένα μεγάλο τηγάνι βάζουμε το λάδι, μόλις κάψει ρίχνουμε το κιμά και ανακατεύουμε καλά, προσθέτουμε το κρεμμύδι μαζί με το σκόρδο, όταν είναι έτοιμα ρίχνουμε την σάλτσα, τα μπαχαρικά τη δάφνη και 2-3 ποτήρια νερό, όταν πάρει βράση ρίχνουμε τον κύβο λαχανικών και χαμηλώνουμε την φωτιά. Βράζουμε τον κιμά και φροντίζουμε να μην αφήσουμε πολλά υγρά.

Σε ένα ταψί στρώνουμε μια λαδόκολλα, καθαρίζουμε τις πατάτες τις αλατίζουμε και τις τοποθετούμε στο ταψί. Τις αλείφουμε με λίγο λάδι και τις τοποθετούμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 180°C μέχρι να ροδίσουν.

Μπεσαμέλ: σε μια κατσαρόλα ρίχνουμε το βούτυρο, το αλάτι το πιπέρι και το μοσχοκάρυδο. Όταν το βούτυρο λιώσει προσθέτουμε το αλεύρι και ανακατεύουμε καλά με ένα σύρμα, κατεβάζουμε από την φωτιά και σιγά σιγά προσθέτουμε το γάλα, όταν η μπεσαμέλ έχει την κατάλληλη υφή την βάζουμε πάλι στο ζεστό μάτι για να πάρει μια βράση ανακατεύοντας συνεχώς. Κατεβάζουμε και ρίχνουμε το αυγό. Ανακατεύουμε γρήγορα για να μην ψηθεί.

Σε ένα όχι πολύ μεγάλο ταψί στρώνουμε τις μελιτζάνες, από πάνω απλώνουμε τις πατάτες, συνεχίζουμε με τον κιμά και στο τέλος βάζουμε την μπεσαμέλ. Με ένα μικρό κουταλάκι ρίχνουμε μικρά κομματάκια βούτυρο από πάνω και τοποθετούμε στον φούρνο για περίπου 20’ με 30’ στους 180°C, όταν αρχίσει να παίρνει χρώμα προσθέτουμε και τα τυριά και ψήνουμε για περίπου αλλα 10’.