Βάζουμε στο κάδο του μίξερ το βούτυρο με τη ζάχαρη και το αλάτι και χτυπάμε να αφρατέψει το μείγμα. Προσθέτουμε το αυγό και συνεχίζουμε το ανακάτεμα.
Ρίχνουμε το γάλα και σιγά σιγά το αλεύρι και ζυμώνουμε για λίγο με τα χέρια μας μέχρι να έχουμε μια ωραία εύπλαστη ζύμη.
Σκεπάζουμε το μπολ με μεμβράνη και τη βάζουμε στο ψυγείο για 15 - 20 λεπτά.

Βγάζουμε τη ζύμη από το ψυγείο και πλάθουμε τα κουλουράκια στο μέγεθος και σχήμα που μας αρέσει.
Τα αραδιάζουμε σε ταψί στρωμένο με λαδόκολλα, τα αλείφουμε με το αυγό και πασπαλίζουμε από πάνω με την τριμμένη παρμεζάνα.