Κόβουμε τα καπάκια από τις ντομάτες, αφαιρούμε την σάρκα τους, και την κόβουμε.
Σουρώνουμε τα υγρά που έβγαλαν και τα κρατάμε στην άκρη μέσα σε μπολ.
Αλατίζουμε τις ντομάτες στο εσωτερικό τους, και τις βάζουμε σε ταψί κανονικά, όχι ανάποδα.
Καθαρίζουμε την πατάτα και την βάζουμε γύρω από τις ντομάτες με τρόπο τέτοιο που να τις στηρίζουν σαν σφήνες.
Στο μούλτι ψιλοκόβουμε το σκόρδο το τζίντζερ και τα κρεμμύδια.

Τα σοτάρουμε με τις 5 κουτ. ελαιόλαδο, σε μέτρια προς υψηλή θερμοκρασία μέχρι να μαλακώσουν.
Αλατίζουμε, ρίχνουμε την ζάχαρη, και τα αφήνουμε να μαραθούν, χωρίς να καούν.
Προσθέτουμε το ρύζι, και ανακατεύουμε μέχρι να « βραχεί» με το λάδι και να γυαλίσει.
Συνεχίζουμε προσθέτοντας την κομμένη σάρκα από τις ντομάτες, και τον μισό ντοματοχυμό που σουρώσαμε, τις σταφίδες σουρωμένες αλλά όχι στυμμένες, - το ρούμι το πετάμε- και αφήνουμε 5 λεπτά να βράσουν.

Προσθέτουμε τα κουκουνάρια, τα φύλλα δυόσμου – βασιλικού, και αφήνουμε τη γέμιση να μισό - κρυώσει.
Προθερμαίνουμε τον φούρνο, στους 180ο C στις αντιστάσεις, γεμίζουμε τις ντομάτες με την γέμιση, και τις κλείνουμε με τα καπάκια.
Ρίχνουμε τον υπόλοιπο ντοματοχυμό και το ελαιόλαδο, επάνω στις πατάτες στον πάτο του ταψιού, αποφεύγοντας τις ντομάτες.
Σκεπάζουμε το ταψί με αλουμινόχαρτο, και κλείνουμε καλά, γύρω από τα χείλια του ταψιού.