Βάζουμε τα μπούτια, την πατάτα και το καρότο (ολόκληρα) σε κατσαρόλα και νερό τόσο όσο να τα σκεπάζει. Βράζουμε σε μέτρια φωτιά και ξαφρίζουμε. Μόλις τελειώσουμε με το ξάφρισμα, προσθέτουμε ελαιόλαδο και αλατοπίπερο. κλείνουμε την κατσαρόλα και βράζουμε έως ότου γίνουν τα μπουτάκια (περίπου 1 ώρα).
Tip: Αν χρησιμοποιήσετε κότα δεν χρειάζεται ελαιόλαδο γιατί έχει η ίδια λίπος.

Αφαιρούμε το κοτόπουλο, την πατάτα και το καρότο. Μόλις φτάσει το νερό σε σημείο βρασμού, προσθέτουμε το ρύζι. Όσο βράζει (περίπου 15 λεπτά), ξεκοκαλίζουμε το κοτόπουλο, αφαιρούμε την πέτσα και το κόβουμε σε μπουκίτσες. Κόβουμε σε καρέ την πατάτα και σε ροδέλες το καρότο.

Ετοιμάζουμε το αυγολέμονο. Χτυπάμε 2 αυγά και προσθέτουμε το χυμό των λεμονιών.

Δοκιμάζουμε το ρύζι και αφού είναι έτοιμο, παίρνουμε μια κουτάλα από το ζουμί του και ρίχνουμε σιγά σιγά στο αυγολέμονο, χτυπώντας συνεχώς για να μην "κόψει" το αυγό.

Αφού χτυπήσουμε καλά, προσθέτουμε το αυγολέμονο στην κατσαρόλα και ανακατεύουμε συνεχώς. Αφήνουμε να πάρει μια βράση και προσθέτουμε το κοτόπουλο, την πατάτα και το καρότο.