Ετοιμάζουμε το ζυμάρι, λιώνουμε τη μαγιά σε λίγο νερό με μια πρέζα ζάχαρη. Σε ένα μπολ ή στον κάδο του μίξερ βάζουμε το αλεύρι, την υπόλοιπη ζάχαρη, το λάδι, τη μισή ρίγανη και τη μαγιά, ξεκινάμε το ανακάτεμα και αφού βραχεί λίγο το αλεύρι προσθέτουμε το αλάτι και όσο νερό χρειαστεί για να έχουμε ένα μαλακό ζυμάρι που κολλάει ελαφρώς στα χέρια. Σκεπάζουμε το μπολ με μια καθαρή πετσέτα και το αφήνουμε σε ζεστό μέρος να φουσκώσει για περιπου μια ώρα.

Στο μεταξύ καθαρίζουμε τα λαχανικά και κόβουμε τα μανιτάρια σε λεπτές φετούλες και όλα τα υπόλοιπα λαχανικά σε λεπτά μπαστουνάκια.Τα βάζουμε σε ένα ταψί στρωμένο με λαδόκολλα, τα αλατίζουμε και τα ραντίζουμε με λίγο λάδι. Τα ψήνουμε στο γκριλ για 5 λεπτά περίπου μέχρι να μαραθούν και να μαλακώσουν ελαφρά.

Λαδώνουμε καλά τη λαμαρίνα του φούρνου και με λαδωμένα χέρια ανοίγουμε το ζυμάρι να πιάσει όλο το ταψί. Αλείφουμε με την ντομάτα, απλώνουμε τα λαχανικά και κατόπιν το τυρί, πασπαλίζουμε με λίγη ρίγανη και ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 200 βαθμούς για 20'-30' ανάλογα το φούρνο μέχρι να ψηθεί το ζυμάρι και να ροδίσει το τυρί.