Σε μεσαία κατσαρόλα ζεσταίνουμε το βούτυρο και μόλις λιώσει το τραβάμε από τη φωτιά. Προσθέτουμε το γάλα, τη ζάχαρη, το αλάτι και ανακατεύουμε ώσπου να λιώσουν και αυτά.

Δοκιμάζουμε με το δάχτυλό μας να μην είναι καυτό το μείγμα, προσθέτουμε το αυγό και ανακατεύουμε καλά με τον αυγοδάρτη. Προσθέτουμε τη μαγιά και ανακατεύουμε. Αφήνουμε να ενεργήσει η μαγιά για 5'. Προσθέτουμε και το αλεύρι και ανακατεύουμε με κουτάλα στην αρχή και συνεχίζουμε με το χέρι ως να έχουμε ένα ζυμάρι κολλώδες. Σκεπάζουμε και αφήνουμε να διπλασιαστεί σε όγκο (περίπου 1-1 1/2 ώρα, ανάλογα και τη θερμοκρασία του χώρου).

Ξεφουσκώνουμε και αφήνουμε να φουσκώσει ακόμα μία φορά και να διπλασιαστεί σε όγκο. Αυτή τη φορά θα χρειαστεί λιγότερο χρόνο, περίπου 40' και θα κολλάει λιγότερο.

Αδειάζουμε το ζυμάρι σε αλευρωμένη επιφάνεια και το χωρίζουμε σε 16 ίσα κομμάτια, τα πλάθουμε μπαλάκια, τα ακουμπάμε σε αλευρωμένη επιφάνεια, τα σκεπάζουμε με μεμβράνη ή πετσέτα να μην ξεραθούν εξωτερικά και ξεκινάμε να πλάθουμε κορδόνια περίπου 30 εκ. ρολάροντας προς αντίθετη κατεύθυνση το κάθε μας χέρι. Το δεξί άκρο του κορδονιού με το δεξί χέρι προς τα πάνω ενώ το αριστερό άκρο του κορδονιού με το αριστερό χέρι προς τα κάτω (ή όπως μας βολεύει).

Πιάνουμε και ενώνουμε τα δύο άκρα του κορδονιού και βλέπουμε ότι γυρίζει αυτόματα το κορδόνι. Βοηθάμε λίγο να στριφογυρίσει 3 ή 4 φορές και πατάμε τις άκρες με τα δάχτυλά μας να μην ανοίξει. Το αφήνουμε στην άκρη σε αλευρωμένη επιφάνεια, ώστε να μην κολλήσει και συνεχίζουμε με τα υπόλοιπα.

Στο μεταξύ βάζουμε σε μια χαρτοσακούλα (από το μανάβη π.χ.) ή σε ένα μεγάλο τάπερ με καπάκι τη ζάχαρη με την κανέλα για να πασπαλίσουμε τους λουκουμάδες. Κλείνουμε τη σακούλα (ή το τάπερ) και κουνάμε λίγο να ανακατευτούν (εδώ εγώ χρειάστηκα 1 κ.σ. περισσότερο ζάχαρη). Αφήνουμε στην άκρη.

Ξεκινάμε το τηγάνισμα βάζοντας μπόλικο λάδι (5-6 φλυτζάνια) να κάψει σε δυνατή φωτιά τους 180οC. Μόλις πιάσει θερμοκρασία γυρίζουμε σε μέτρια φωτιά και ρίχνουμε έναν έναν τους λουκουμάδες, όσους χωράει το τηγάνι μας. Τηγανίζουμε από τη μία και μόλις ροδίσουν γυρίζουμε και από την άλλη μεριά ως να πάρουν ένα χρυσοκάστανο χρώμα. Τους βάζουμε σε απορροφητικό χαρτί και συνεχίζουμε με τους υπόλοιπους.

Όσο τηγανίζονται οι δεύτεροι βάζουμε τους πρώτους στη χαρτοσακούλα ή το τάπερ με την κανελοζάχαρη, κλείνουμε και τους κουνάμε να πάει το μείγμα παντού. Συνεχίζουμε μέχρι να τηγανίσουμε όλους τους λουκουμάδες και να τους πασπαλίσουμε με το μείγμα της κανελοζάχαρης.