Βάζουμε το κοτόπουλο σε 3 lt νερό να πάρει βράση. Ξαφρίζουμε και συνεχίζουμε το βρασμό σε μέτρια προς δυνατή φωτιά με κλειστό καπάκι για 15 λεπτά ακόμα.

Εν τω μεταξύ έχουμε καθαρίσει και κόψει τα καρότα σε ροδέλες και τις πατάτες σε κύβους.

Παίρνουμε με μια μεγάλη κουτάλα σούπας 3-4 κουταλιές ζωμό από το κοτόπουλο και τον μεταφέρουμε σε μια μικρότερη κατσαρόλα. Ρίχνουμε το κρεμμύδι ψιλοκομμένο και Ξαφρίζουμε αφού πάρει βράση. Προσθέτουμε 1 καρότο και 2 από τις πατάτες. Αν χρειαστεί προσθέτουμε κι άλλο ζωμό από το κοτόπουλο και αφήνουμε να πάρουν βράση σε μέτρια προς δυνατή φωτιά με το καπάκι κλειστό.

Τις υπολοιπες πατάτες και καρότο το προσθέτουμε στο κοτόπουλο, μαζί με το λάδι, τον κύβο κότας, τη μια κουταλιά vegeta, ελάχιστο αλάτι και πιπέρι. Ανακατεύουμε ελαφρά και βράζουμε για αλλά 15 λεπτά, ή μέχρι να αρχίσει να ξεκολλάει το κρέας από το κόκκαλο.

Προσθέτουμε εν τω μεταξύ την άλλη κουταλιά vegeta και ελάχιστο αλάτι και πιπέρι και στην κατσαρόλα με τα λαχανικά. Βράζουμε παράλληλα με το κοτόπουλο για συνολικά περίπου 20 - 30 λεπτά.

Τα λαχανικά θέλουν λίγο παραπάνω ζουμάκι για να βράσουν καλά αλλά δεν χρειαζόμαστε πολύ ζουμί στο τέλος για να τα πολτοποιήσουμε. Γι’ αυτό όταν βράσουν και μαλακώσουν μεταφέρουμε το παραπανίσιο ζουμί με μια κουτάλα στην κατσαρόλα με το κοτόπουλο και κλείνουμε το μάτι.

Τα λαχανικά για να είναι έτοιμα πρέπει να είναι μαλακά να μπορούν να γίνουν πουρές. Παίρνουμε το ραβδομπλεντερ και τα πολτοποιούμε μέσα στην κατσαρόλα. Αφήνουμε τον πουρέ σκεπασμένο στην κατσαρόλα.

Μόλις το κρέας είναι έτοιμο το μεταφέρουμε σε πιάτο, το καθαρίζουμε από κόκκαλα και πέτσες και το κόβουμε σε μπουκιτσες. Τα λαχανικά τα μεταφερουμε στην κατσαρόλα με τα υπόλοιπα λαχανικά. Σουρώνουμε το ζουμί της κατσαρόλας και το ξαναβάζουμε στη φωτιά.

Ρίχνουμε μέσα το ρύζι και το καθαρισμένο κοτόπουλο και περιμένουμε να πάρει πάλι βράση. Ανακατεύουμε λίγο στην αρχή για μα μην μας κολλήσει το ρύζι στον πάτο της κατσαρόλας. Χαμηλώνουμε έπειτα τη φωτιά και βράζουμε με κλειστό καπάκι για αλλά 15 λεπτά.

Εν τω μεταξύ ετοιμάζουμε το αυγολέμονο. Χτυπάμε το ασπράδι στο μούλτι ή σε μίξερ χειρός. Προσθέτουμε τον κρόκο, χτυπάμε, το χυμό του λεμονιού, χτυπάμε, προσθέτουμε ζωμό από την κατσαρόλα και χτυπάμε.

Προσθέτουμε στην κατσαρόλα τον πουρέ των λαχανικών και ανακατεύουμε. Χαμηλώνουμε τη φωτιά ώστε να μη βράζει έντονα, αλλά για να παραμείνει ζεστό. Σβήνουμε τη φωτιά και μεταφέρουμε μια κουτάλια από το μείγμα στο αυγολέμονο και χτυπάμε.