Ρίχνουμε το καρότο, την πατάτα και το κρεμμύδι, σκεπάζουμε την κατσαρόλα με το καπάκι και σιγοβράζουμε για 50 - 60 λεπτά, μέχρι η φάβα να χυλώσει και να απορροφήσει όλο το νερό.
Αποσύρουμε από τη φωτιά.
Αφαιρούμε το καρότο και το κρεμμύδι.

Ρίχνουμε στη φάβα αλατοπίπερο, το λάδι και το χυμό λεμονιού και ανακατεύουμε με μια ξύλινη κουτάλα μέχρι να γίνει σαν πουρές. Αν θέλουμε πιο λείο και βελούδινο αποτέλεσμα, χτυπάμε τη φάβα με ένα ραβδομπλέντερ ή στον πολυκόφτη που διαθέτουμε.

Προθερμαίνουμε το φούρνο στους 180° C και στρώνουμε με λαδόκολλα ένα μέτριο ταψί.
Σε ένα μπολ ανακατεύουμε 500 γρ. ντοματάκια, κομμένα στη μέση, με 2 κουτ. γλυκού καστανή ζάχαρη, 3 σκελίδες σκόρδου, ολόκληρες, 2 κουτ.σούπας ξίδι βαλσαμικό, 1 κουτ. γλυκού ρίγανη ξερή, τριμμένη, αλάτι και φρεσκοτριμμένο πιπέρι.
Αδειάζουμε στο ταψί και τα απλώνουμε σε μία στρώση.
Ψήνουμε για περίπου 40 λεπτά, μέχρι να μαλακώσουν και να μελώσουν.
Ξεφουρνίζουμε και αφαιρούμε τα σκόρδα.

Σε ένα τηγάνι σοτάρουμε 3 μέτρια ξερά κρεμμύδια ψιλοκομμένα, αλάτι, 1/2 κ.γ. ρίγανη και 90 ml ελαιόλαδο σε χαμηλή φωτιά για περίπου 30 λεπτά, μέχρι να μαλακώσουν και να μελώσουν.