Πλένουμε πολύ καλά το τεμαχισμένο κοτόπουλο. Τοποθετούμε μια βαθιά κατσαρόλα σε μέτρια φωτιά και βάζουμε το κοτόπουλο. (Αν θέλουμε μπορούμε να αφαιρέσουμε μερικές από τις πιο χοντρές πέτσες από το κοτόπουλο για να αποφύγουμε το λίπος που θα βγάλουν κατά το βράσιμο). Προσθέτουμε 2 1/2 λίτρα νερό από τη βρύση και τα αφήνουμε να βράσει.

Όταν αρχίσει ο βρασμός ρίχνουμε με λίγο αλάτι και με μια κουτάλα ξαφρίζουμε τον αφρό που βγαίνει στην επιφάνεια μέχρι να σταματήσει να βγαίνει αφρός..

Προσθέτουμε το καρότο, το σέλινο, το κρεμμύδι και την πατάτα. Χαμηλώνουμε την φωτιά και σκεπάζουμε την κατσαρόλα. Σιγοβράζουμε για 40 λεπτά περίπου μέχρι να μαλακώσει το κοτόπουλο

.Όταν το κοτόπουλο βράσει και μαλακώσει, το βγάζουμε μαζί με τα λαχανικά από την κατσαρόλα και τα τοποθετούμε σε πιατέλα. (Αν θέλουμε μπορούμε να σουρώσουμε το ζουμί για τυχόν μικρά κόκαλα που μπορεί να υπάρχουν στο ζωμό). Ρίχνουμε το ρύζι μέσα στην κατσαρόλα και το αφήνουμε να βράσει σε χαμηλή φωτιά, μέχρι να χυλώσει η σούπα.

Ξεψαχνίζουμε το κοτόπουλο και αν θέλουμε ρίχνουμε λίγο στην κατσαρόλα. Προσθέτουμε και τα λαχανικά κομμένα. Δοκιμάζουμε το αλάτι και αν χρειάζεται συμπληρώνουμε.

Ανακατεύουμε και βράζουμε για 2 με 3 λεπτά ακόμα. Το κοτόπουλο που δεν θα ξεψαχνίσαμε μπορούμε να του προσθέσουμε αλάτι και φρεσκοτριμμένο πιπέρι για να νοστιμίσει.

Για το αυγολέμονο: Σε ένα μπολ χτυπάμε το ασπράδι με έναν αυγοδάρτη. Προσθέτουμε τον κρόκο χτυπάμε λίγο και ρίχνουμε το χυμό λεμονιού. Προσθέτουμε σταδιακά 1-2 κουτάλες από το ζουμί της σούπας, ρίχνοντάς το με ροή κλωστής, χτυπώντας συνεχώς.

Όταν έχει ζεσταθεί καλά το μείγμα αυγού- λεμονιού, περιχύνουμε τη σούπα και κουνάμε κυκλικά την κατσαρόλα να πάει παντού. Σερβίρουμε αμέσως σε σουπιέρα ή βαθύ πιάτο. Πασπαλίζουμε με φρεσκοτριμμένο πιπέρι.

Καλή επιτυχία !