Ξεπλένουμε τις φακές και τις μουλιάζουμε για 2 ώρες πρίν το μαγείρεμα. Σοτάρουμε στην κατσαρόλα το κρεμμύδι και το σκόρδο και συνεχίζουμε και με τις φακές. Αφού περάσουν 3-4 λεπτά, ρίχνουμε τον πελτέ και συνεχίζουμε το σοτάρισμα για ακόμα 2 λεπτά.

Προσθέτουμε το ζεστό νερό, τόσο όσο να ανέβει 2 δάχτυλα πάνω απ' τις φακές. Ενδεχομένως να χρειαστεί να συμπληρώσουμε και κατά τη διάρκεια του βρασμού.

Προσθέτουμε τα καροτάκια και την πατάτα κομμένα σε κυβάκια, τη βάγια, το δεντρολίβανο, το πιπέρι, τη ζάχαρη και το ξίδι. Κρατάμε το αλάτι για το τέλος έτσι ώστε να μη σκληρύνουν οι φακές.

Μαγειρεύουμε για περίπου 45' και λίγο πρίν να είναι έτοιμες αλατίζουμε και κατεβάζουμε απ' τη φωτιά. Σερβίρουμε με φρέσκο ελαιόλαδο και ρίγανη. Καλή απόλαυση!!!!!