Προθερμαίνουμε το φούρνο στους 180oC στον αέρα. Σε μεσαία κατσαρόλα και σε μέτρια φωτιά λιώνουμε το βούτυρο και σοτάρουμε τα κρεμμύδια για 3-4 λεπτά, μέχρι να μαλακώσουν και να πάρουν ένα ωραίο χρυσαφί χρώμα. Αποσύρουμε από τη φωτιά, ρίχνουμε με προσοχή το γάλα και επαναφέρουμε την κατσαρόλα στη φωτιά.

Ανακατεύουμε μέχρι το γάλα να βράσει, για περίπου 2-3 λεπτά και στη συνέχεια, ρίχνουμε το σιμιγδάλι. Μαγειρεύουμε για 2-3 λεπτά ακόμη, μέχρι να πάρουμε μια κρέμα πηχτή όπως αυτή του γαλακτομπούρεκου.

Αποσύρουμε την κατσαρόλα από τη φωτιά,προσθέτουμε τη φέτα, το θυμάρι και ανακατεύουμε καλά μέχρι το μείγμα να γίνει ομοιογενές. Διορθώνελουμε τη γεύση με αλάτι και πιπέρι. Χτυπάμε τα αβγά σε ένα μπολ και τα προσθέτουμε στο μείγμα, ανακατεύοντας γρήγορα.

Βουτυρώνουμε και πασπαλίζουμε με σιμιγδάλι ένα πυρέξ ή ταψί διαστάσεων 25x35 εκ. και απλώνουμε μέσα ομοιόμορφα την κρέμα. Με πινέλο αλείφουμε τον κρόκο στην επιφάνεια της και ψήνουμε στο φούρνο για 35-45 λεπτά. Βγάζουμε την πίτα από το φούρνο και αφήνουμε να κρυώσει καλά για τουλάχιστον 2 ώρες, για να μπορέσουμε να την κόψουμε χωρίς να διαλυθεί