Τρίβετε την παρμεζάνα στο ψιλό του τρίφτη και την ανακατεύετε με (λίγο) δενδρολίβανο. Σε ταψί τύπου λαμαρίνα στρωμένο με αντικολλητικό χαρτί μοιράζετε με ένα κουταλάκι το μείγμα σε «βουναλάκια» και ψήνετε σε προθερμασμένο φούρνο στους 180 βαθμούς μέχρι η παρμεζάνα να χρυσίσει και να λιώσει (αποκτώντας τη μορφή τσιπς!)

Πλένετε καλά το σπανάκι. Κρατάτε μερικά φύλλα κατά μέρος και ζεματάτε το υπόλοιπο σε νερό που βράζει για 2 λεπτά. Αποσύρετε και το βουτάτε σε κρύο νερό ώστε να μη χάσει το χρώμα του. Στραγγίζετε καλά και το χτυπάτε στο μούλτι μαζί με λίγο ελαιόλαδο, αλάτι και πιπέρι μέχρι να γίνει πουρές.

Βράζετε τα αυγά σε αλατισμένο νερό για 4 λεπτά (μετρώντας από τη στιγμή που αρχίζει ο βρασμός). Τα αποσύρετε και τα βυθίζετε σε μπολ με νερό και πάγο ώστε να σταματήσει ο βρασμός τους. Τα ξεφλουδίζετε προσεκτικά και τα κυλάτε στην τριμμένη φρυγανιά ώσπου να καλυφθούν καλά από όλες τις πλευρές.

Σε βαθύ τηγάνι και σε μέτρια φωτιά, ρίχνετε ηλιέλαιο τόσο όσο να σκεπάσει τα αυγά και τα τηγανίζετε για περίπου 30 δευτερόλεπτα μέχρι να αποκτήσουν χρυσαφί χρώμα. Τα αποσύρετε με προσοχή και τα αφήνετε να βγάλουν τυχόν περίσσιο λάδι τους σε πιάτο καλυμμένο με απορροφητικό χαρτί.

Σερβίρετε απλώνοντας τον πουρέ σπανάκι επάνω στα φύλλα που έχετε κρατήσει κι από δίπλα τα αυγά και τα τσιπς παρμεζάνας.