Τσιγαρίζουμε τον κιμά με το κρεμμύδι και το σκόρδο στο ελαιόλαδο. Μόλις ο κιμάς ασπρίσει βάζουμε τα μπαχαρικά τον χυμό ντομάτας και λίγο νερό και αφήνουμε να βράσει. Δεν θέλουμε να έχει πολύ σάλτσα. Όταν είναι έτοιμος ο κιμάς αφήνουμε στην άκρη.

Ψιλοκόβουμε τα λαχανικά και τα βάζουμε στο αντικολλητικό τηγάνι με λίγο λάδι αλάτι και αφήνουμε να μαλακώσουν ανακατεύουμε συνεχώς. Όταν είναι έτοιμα αφήνουμε στην άκρη.

Ζεσταινουμε το μισό λίτρο γάλα να μην κάψει.

Λαδώνουμε το πυρέξ και στρώνουμε λαζάνια μέχρι να καλυφθεί ο πάτος.Με ένα κουτάλι βρεχουμε τα λαζάνια με λίγο από το χλιαρό γάλα, στρωνουμε μια δόση από τα λαχανικά κ λίγο τυρί, αλλη μια στρώση λαζάνια και βρεξιμο με χλιαρό γάλα. Μια στρώση κιμά και επαναλαμβανουμε μέχρι να γεμίσει το πυρέξ. Περιχυνουμε το υπόλοιπο γάλα, θελουμε να πάει μέχρι τον πάτο για να έχουν υγρό τα λαζάνια και να βράσουν στο φούρνο.

Ετοιμάζουμε την μπεσαμέλ. Λιώνουμε σε μια κατσαρόλα το βούτυρο, προσθετουμε το αλεύρι σιγά σιγά ανακατεύοντας συνεχώς, ριχνουμε το γάλα σιγά σιγά ανακατεύοντας, αποσυρουμε από τη φωτιά και ρίχνουμε το αυγό ανακατεύοντας γρήγορα (μη γίνει ομελετα) και τα μπαχαρικά και τέλος το τυρί.

Για 40 λεπτά και ξεσκεπάσουμε και συνεχίζουμε το ψήσιμο μέχρι να πάρει χρυσαφί χρώμα η μπεσαμέλ.