Βάζουμε το πουλερικό κομμένο σε μεγάλες μερίδες σε μεγάλη κατσαρόλα και προσθέτουμε νερό να το σκεπάζει τελείως.

Προσθέτουμε μια κοφτή κουταλιά αλάτι και τα βάζουμε να βράσουν. Πριν αρχίσει ο βρασμός, το κοτόπουλο θα βγάλει ένα πηχτό σκούρο αφρό. Στεκόμαστε πάνω από την κατσαρόλα και με τρυπητή κουτάλα τον αφαιρούμε.

Είναι σημαντικό να αφαιρεθεί τελείως αυτός ο αφρός για να γίνει ο ζωμός μας διαυγής. Η μεγαλύτερη ποσότητα αφαιρείται πριν κοχλάσει το νερό. Αν δεν το προλάβουμε, σπάει με το βράσιμο και θολώνει το ζωμό.Όταν πια έχει αφαιρεθεί όλος και όσος προκύψει με το βράσιμο, αφήνουμε το κρέας μας να βράζει σε μέτρια προς υψηλή θερμοκρασία μέχρι να μαλακώσει και να ξεκολλάει από τα κόκκαλα. Αυτό το στάδιο (μετά το ξάφρισμα) μπορεί να γίνει και σε χύτρα ταχύτητας.

Βγάζουμε σε πιατέλα το κρέας και σουρώνουμε το ζωμό ώστε να μην υπάρχουν κοκαλάκια στη σούπα μας. Μετράμε να είναι πάνω – κάτω 3 lt (12 κούπες). Συμπληρώνουμε με νερό αν δεν είναι τόσο. Δοκιμάζουμε μήπως χρειάζεται λίγο αλάτι ακόμη και βάζουμε το ζωμό να βράσει.

Μόλις πάρει βράση προσθέτουμε το ρύζι καθαρισμένο και ξεπλυμένο. Αφήνουμε να βράσει 5-10 λεπτά και αρχίζουμε να ετοιμάζουμε το αυγολέμονο. Στύβουμε τα λεμόνια και σε ένα μεγάλο και βαθύ μπολ (ανάλογο με το πλήθος των αυγών που θα χρησιμοποιήσουμε) βάζουμε τα αυγα και αρχίζουμε να τα χτυπάμε.

Μόλις ομογενοποιηθεί το μίγμα προσθέτουμε αργά αργά το χυμό λεμονιού, σαν κλωστή.

Με βαθιά κουτάλα ρίχνουμε πάνω από τα χτυπημένα αυγά λίγο λίγο από το ζωμό τις σούπας.Όταν έχει πια γεμίσει εντελώς το πιάτο (δηλαδή να έχουν πέσει στα δύο αυγά τουλάχιστον 3 κουτάλες ζουμί), αδειάζουμε το αυγολέμονο στη σούπα κρατώντας το πιάτο με το ένα χέρι και ανακατεύοντάς τη με τη κουτάλα (με το άλλο χέρι). Απομακρύνουμε αμέσως την κατσαρόλα από το μάτι και συνεχίζουμε το ανακάτεμα. Την ξαναβάζουμε για ένα λεπτό στο μάτι ανακατεύοντας πάντα και την απομακρύνουμε οριστικά.

Σερβίρουμε τη σούπα ζεστή με το κρέας δίπλα της. Το βραστό κρέας τρώγεται με λίγο αλάτι και λίγο λεμόνι και είναι πεντανόστιμο.