Βράζουμε το κοτόπουλο σε μέτρια φωτιά για περίπου 1-1,5 ώρα. Αφού βράσει το κόβουμε σε μικρά κομματάκια.

Σε ένα τηγάνι βάζουμε ελαιόλαδο και τσιγαρίζουμε το κρεμμύδι. Ρίχνουμε και το κοτόπουλο μαζί με το αλάτι, το πιπέρι και τη ρίγανη. Το αφήνουμε για περίπου 10 λεπτά κι ανακατεύουμε για να μην κολλήσει.

Σε ένα μπωλ χτυπάμε το αυγό και ρίχνουμε την φέτα σε κομματάκια και το κοτόπουλο από το τηγάνι. Ανακατεύουμε πολύ καλά.

Λαδώνουμε ένα ταψί. Απλώνουμε 4 φύλλα, πάνω τους βάζουμε την γέμιση και σκεπάζουμε με ακόμα 4 φύλλα. Κάθε φορά που απλώνουμε ένα φύλλο το αλείφουμε με λάδι.

Κλείνουμε γύρω γύρω την πίτα, την χαράζουμε κάθετα και οριζόντια και την αλείφουμε με βούτυρο.

Την ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 200 βαθμούς για μισή ώρα.