Σε μια κατσαρόλα ζεσταίνουμε τα δύο είδη βουτύρου, το γάλα, τη ζάχαρη, το μαχλέπι και τη μαστίχα. Προσοχή μην ανέβει πάνω από τους 50°C η θερμοκρασία του μείγματος· θέλουμε απλώς να ζεσταθεί, όχι να κάψει, γιατί θα καταστραφεί η μαγιά που θα προσθέσουμε αργότερα. Κατεβάζουμε από τη φωτιά και ρίχνουμε τα αυγά. Ανακατεύουμε καλά. Σ’ ένα άλλο σκεύος διαλύουμε τη μαγιά στο χλιαρό νερό ανακατεύοντας με ένα πιρούνι. Την αδειάζουμε στο μείγμα με τα βούτυρα, προσθέτουμε το αλεύρι και ζυμώνουμε πολύ καλά

Δίνουμε στη ζύμη σχήμα μπάλας, τη βάζουμε σε μια καθαρή λεκάνη και χαράσσουμε στην επιφάνειά της έναν σταυρό με ένα μαχαίρι. Σκεπάζουμε τη λεκάνη με μια πετσέτα και την αφήνουμε σε ζεστό περιβάλλον για τουλάχιστον 3 ώρες ώστε να διπλασιαστεί σε όγκο η ζύμη και να χαθεί ο σταυρός. Ξαναζυμώνουμε ελαφρώς με το χέρι και χωρίζουμε τη ζύμη σε 3 ίσα μέρη.

Πασπαλίζουμε με ελάχιστο αλεύρι και πλάθουμε τρία μπαστούνια, τα οποία πλέκουμε σε πλεξούδα. Εναλλακτικά, φτιάχνουμε ένα μεγάλο μπαστούνι και το τυλίγουμε σαν σαλίγκαρο, αντί να φτιάξουμε πλεξούδα.

Πασπαλίζουμε με το αμύγδαλο φιλέ και ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 170°C-180°C για 50-60 λεπτά, μέχρι το τσουρέκι να ροδίσει και να ξεκολλάει από τη λαδόκολλα.

Τοποθετούμε το τσουρέκι σε μια λαδόκολλα πάνω στη λαμαρίνα του φούρνου. Αφήνουμε ξανά σε ζεστό περιβάλλον για μια ώρα τουλάχιστον μέχρι να διπλασιαστεί ξανά σε όγκο. Ανακατεύουμε το αυγό της επάλειψης μ’ ελάχιστο νερό και μ’ ένα πινέλο αλείφουμε πολύ προσεκτικά την επιφάνεια του τσουρεκιού (δεν πρέπει να το τρυπήσουμε γιατί δεν θα φουσκώσει).