Ετοιμάζουμε τον πουρέ: Τρυπάμε με μαχαίρι τις μελιτζάνες γύρω γύρω, τις βάζουμε σε ταψί και τις ψήνουμε στον φούρνο, γυρίζοντάς τις μερικές φορές ώσπου να μαλακώσουν πολύ καλά. Όταν ψηθούν οι μελιτζάνες τις αφήνουμε να κρυώσουν, τις ξεφλουδίζουμε, βγάζουμε τη σάρκα τους και ρίχνουμε τον χυμό από μισό λεμόνι και αλάτι. Τις αφήνουμε στο σουρωτήρι να σταθούν λίγο.

Σε κατσαρόλα ανακατεύουμε το γάλα με την κρέμα γάλακτος σε χαμηλή θερμοκρασία. Λιώνουμε το βούτυρο σε άλλη κατσαρόλα, προσθέτουμε το αλεύρι και ανακατεύουμε για 1 λεπτό. Προσθέτουμε σιγά σιγά το ζεστό γάλα με την κρέμα γάλακτος, ανακατεύοντας συνέχεια για 1 λεπτό ακόμα, χωρίς να αφήσουμε ντο μείγμα να βράσει. Προσθέτουμε τον πολτό μελιτζάνας και το κασέρι ανακατεύοντας συνέχεια μέχρι να γίνει πουρές. Σκεπάζουμε και διατηρούμε ζεστό.

Αλατοπιπερώνουμε τα κομμάτια του κοτόπουλου. Σε κατσαρόλα βάζουμε το λάδι και σοτάρουμε τα κομμάτια του κοτόπουλου για 4-5 λεπτά, να ροδίσουν απ' όλες τις πλευρές. Προσθέτουμε το σκόρδο, τα κρεμμυδάκια, τις πιπεριές, τη σάλτσα, το πιπέρι και τον ζωμό. Αφήνουμε το φαγητό να βράσει, χαμηλώνουμε τη θερμοκρασία, σκεπάζουμε και σιγοβράζουμε ώσπου να ψηθεί καλά το κοτόπουλο και να εξατμιστούν τα πολλά υγρά.

Μοιράζουμε τον πουρέ μελιτζάνας σε πιάτα, βάζουμε από πάνω κοτόπουλο και περιχύνουμε με τη σάλτσα.