Σε ένα κατσαρολάκι ζεσταίνουμε το βούτυρο μαζί με το γάλα σε χαμηλή φωτιά. Μόλις αρχίσει να λιώνει το βούτυρο, ανακατεύουμε και προσθέτουμε και τη ζάχαρη. Αποσύρουμε πριν κάψει το μείγμα. Παράλληλα ζεσταίνουμε ελαφρώς το νερό αποσύροντάς το μόλις χλιαρύνει. Διαλύουμε μέσα σε αυτό τη μαγιά.

Σε ένα μεγάλο μπολ χτυπάμε ελαφρώς τα τρία αυγά και προσθέτουμε το μείγμα βουτύρου-γάλακτος-ζάχαρης, το μείγμα της μαγιάς, το μαχλέπι και τη μαστίχα. Ανακατεύουμε.

Μεταφέρουμε το μείγμα στον κάδο του μίξερ, προσθέτουμε το αλεύρι και ζυμώνουμε με το γάντζο (μπορούμε να ζυμώσουμε και με τα χέρια αλλά θα πάρει περισσότερη ώρα). Στην αρχή θα δούμε ότι η ζύμη κολλάει στα τοιχώματα και στο γάντζο, αλλά δεν πρέπει να προσθέσουμε επιπλέον αλεύρι. Συνεχίζουμε το ζύμωμα για 10-12 λεπτά μέχρι να στρώσει.

Βουτυρώνουμε μια λεκανίτσα και βάζουμε μέσα τη ζύμη, αφού της δώσουμε σχήμα μπάλας. Χαράσσουμε έναν σταυρό στην επιφάνειά της με ένα μαχαίρι. Σκεπάζουμε με μια πετσέτα και αφήνουμε σε ζεστό περιβάλλον για 2-3 ώρες, ώστε να διπλασιαστεί σε όγκο και να εξαφανιστεί σχεδόν ο σταυρός. Μεταφέρουμε τη ζύμη σε έναν πάγκο και την ξαναζυμώνουμε ελαφρώς με τα χέρια.

Καλύπτουμε τον πάτο από ένα ταψί διαμέτρου 28 εκ. με λαδόκολλα και μεταφέρουμε μέσα σε αυτό τη ζύμη. Την πιέζουμε καλά με τα χέρια μας να απλώσει σε όλο το ταψί και να γίνει επίπεδη (περίπου 3-4 πόντους πάχος). Αφήνουμε τη βασιλόπιτα σε ζεστό περιβάλλον για περίπου άλλη μία ώρα μέχρι να φουσκώσει. Προθερμαίνουμε το φούρνο στους 180°C. Αλείφουμε τη βασιλόπιτα πολύ προσεκτικά με το αυγό της επάλειψης, το οποίο έχουμε ανακατέψει με λίγο γάλα ή νερό.

Πασπαλίζουμε με το μαύρο και άσπρο σουσάμι και ψήνουμε για 1 ώρα περίπου. Αν δούμε ότι παίρνει χρώμα γρήγορα, μειώνουμε λίγο τη θερμοκρασία αλλά όχι κάτω από τους 160°C.

Το φλουρί το βάζουμε στο τέλος, γυρνώντας την πίτα από την ανάποδη και μπήγοντας το κάθετα σε ένα σημείο.

Προτιμάμε να παίρνουμε μαστίχα σε μορφή κρυστάλλων, τους οποίους κοπανάμε μόνοι μας στο γουδί προσθέτοντας λίγη ζάχαρη για να μην κολλάνε, παρά έτοιμη τριμμένη μαστίχα, καθώς αυτή περιέχει βελτιωτικά ροής που αλλοιώνουν λίγο τη γεύση.και αντι για σουσάμι φτιαχνω γκαναζ απο σοκολάτα μαύρη 100γρ και 200γρ με 35% λιπαρα κρεμα γαλακτος και το περιχύνω απο πανω επισης βαζω και λιγο ξυσμα πορτοκαλί και λιγο χυμό πορτοκάλι