Ξεφλουδίζετε τα καρότα και τα κρεμμύδια και τα κόβετε σε κομμάτια.

Ζεσταίνετε το λάδι σε κατσαρόλα σε μέτρια φωτιά και σοτάρετε εντός της το κρεμμύδι για 3-4 λεπτά. Προσθέτετε μία γεμάτη κουταλιά καυτερή πάπρικα και συνεχίζετε το ανακάτεμα. Ρίχνετε στην κατσαρόλα και τα καρότα με το ρύζι και ανακατεύετε για άλλα 3-4 λεπτά.

Προσθέτετε ένα περίπου λίτρο χλιαρό νερό, αλάτι και πιπέρι σύμφωνα με τις προτιμήσεις σας. Μόλις πάρει την πρώτη βράση, χαμηλώνετε την ένταση της φωτιάς στο μισό, σκεπάζετε με το καπάκι και μαγειρεύετε για 20-25 λεπτά μέχρι να μαλακώσουν τα καρότα.

Στο μεταξύ, ετοιμάζετε το σκορδάτο γιαούρτι. Ανακατεύετε καλά το γιαούρτι, λίγο λάδι και το σκόρδο πολτοποιημένο με το ειδικό εργαλείο, μαζί με αλάτι και πιπέρι, ώσπου να προκύψει μία ομοιογενής, απαλή κρέμα.

Μόλις βράσουν τα καρότα, αποσύρετε την κατσαρόλα από τη φωτιά και χτυπάτε τμηματικά στο μούλτι μέχρι να γίνει βελουτέ.

Ξαναρίχνετε τη σούπα στην κατσαρόλα, δοκιμάζετε το αλάτι και το πιπέρι και ανακατεύετε απαλά μέχρι να πάρει μια ακόμα βράση.

Σερβίρετε τη σούπα συνοδεύοντας με μια κουταλιά σκορδάτο γιαούρτι σε κάθε πιάτο και λίγο ψιλοκομμένο μαϊντανό.