Ζύμη:
Ξεκινάμε ρίχνοντας στον κάδο του μίξερ το αλεύρι, το μπέικιν πάουντερ το αλάτι και ανακατεύουμε.
Προσθέτουμε τα κομματάκια βουτύρου, και χτυπάμε γρήγορα με το φτερό, μέχρι το μείγμα να μοιάζει με βρεγμένα ψίχουλα. Σε ένα μπολάκι χτυπάμε με το πιρούνι το αυγό με το νερό, και τα ρίχνουμε στο μείγμα αλευριού. Χτυπάμε γρήγορα με το φτερό μέχρι να ενωθούν σε μια τραχιά, σχετικά σκληρή ζύμη. Πλάθουμε σε μπάλα, τυλίγουμε με μεμβράνη, και τη βάζουμε στο ψυγείο για λίγο.

Γέμιση:
Ανακατεύουμε τα τυριά με τον μισό βασιλικό, αλατοπίπερο, το ασπράδι, και τον μισό κρόκο (τον άλλο μισό τον κρατάμε για το άλειμμα του φύλλου).
Αλατοπιπερώνουμε και λαδώνουμε τα ντοματίνια με τα 20 ml ελαιόλαδο.
Προθερμαίνουμε τον φούρνο στους 180°C αντιστάσεις.

Συναρμολόγηση:
Βγάζουμε τη ζύμη από το ψυγείο, και την ανοίγουμε με τον πλάστη, ανάμεσα σε δύο κομμάτια λαδόκολλας, σε φύλλο με διάμετρο περίπου 35 εκ. χωρίς να είναι απαραίτητο να είναι εντελώς στρογγυλό.

Αφαιρούμε την επάνω λαδόκολλα και μεταφέρουμε το φύλλο ζύμης, μαζί με την κάτω λαδόκολλα, στο μεγάλο ταψί του φούρνου.
Απλώνουμε το μείγμα των τυριών στο φύλλο, αφήνοντας περιμετρικά ένα περιθώριο 5 εκ. Σκορπίζουμε στα τυριά τα ντοματίνια με το λάδι τους. Γυρίζουμε το περιθώριο ακανόνιστα προς τη γέμιση, φτιάχνοντας ένα πρόχειρο στεφάνι.

Ανακατεύουμε τον μισό κρόκο που κρατήσαμε με 1/2 κουτ. γλυκού νερό και αλείφουμε το φύλλο.
Ψήνουμε την γκαλέτ στην κάτω σχάρα για 1 ώρα.
Βγάζουμε και αφήνουμε 10 λεπτά την γκαλέτ να «σταθεί».