Καθαρίζουμε τα κρεμμύδια, τα κόβουμε σε φετούλες και τα σοτάρουμε στο ελαιόλαδο, προσθέτοντας αλάτι και πιπέρι. Όταν σοταριστούν και αρχίσουν να καραμελώνουν τα αποσύρουμε από τη φωτιά και τα αφήνουμε για λίγο να κρυώσουν.

Στο μεταξύ ετοιμάζουμε τη μπεσαμέλ. Σε κατσαρόλα αναμιγνύουμε το γάλα και το αλεύρι, προσέχοντας το αλεύρι να διαλυθεί καλά μέσα στο γάλα, προσθέτουμε αλάτι και πιπέρι και ανακατεύουμε σε μέτρια φωτιά μέχρι να πήξει η μπεσαμέλ. Αποσύρουμε από τη φωτιά, προσθέτουμε μια κουταλιά βούτυρο και ανακατεύουμε.

Στη συνέχεια, προσθέτουμε στη μπεσαμέλ τη φέτα λιωμένη, τα κρεμμύδια, δοκιμάζουμε το αλάτι και προσθέτουμε λίγο αν χρειάζεται και τέλος προσθέτουμε τα αυγά, καλά χτυπημένα. Ανακατεύουμε για να ενσωματωθούν στο μίγμα όλα τα υλικά.

Σε μεγάλο ταψί (διαμ. 40 εκ.) απλώνουμε τα μισά φύλλα κρούστας σταυρωτά, έτσι ώστε να καλύπτονται όλες οι πλευρές του, αφού πρώτα τα αλείψουμε ενδιάμεσα με ελαιόλαδο ή σπορέλαιο. Αδειάζουμε τη γέμιση επάνω στα φύλλα και συνεχίζουμε καλύπτοντας την πίτα με τα υπόλοιπα φύλλα κρούστας, τα οποία επίσης τοποθετούμε σταυρωτά και επαλείφουμε ενδιάμεσα και στην επιφάνεια του τελευταίου φύλλου με ελαιόλαδο ή σπορέλαιο.