⇒ Για τα καρβελάκια:
Στον κάδο του mixer ρίχνουμε το αλεύρι, την μαγιά και την ζάχαρη. Ανακατεύουμε με ένα κουτάλι καλά και προσθέτουμε το ελαιόλαδο. Χτυπάμε σε μέτρια προς δυνατή ταχύτητα με τον γάντζο και προσθέτουμε το αλάτι και σιγά σιγά το νερό. Ίσως χρειαστεί λιγότερο νερό ή περισσότερο αλεύρι. Η ζύμη μας μετά από 6-8 λεπτά χτύπημα πρέπει να είναι απαλή, ελαστική και να κολλάει.

Λαδώνουμε ελαφρά ένα μπολ και ρίχνουμε την ζύμη σε αυτό. Αφήνουμε να ξεκουραστεί για 30 λεπτά σκεπασμένη με μία πετσέτα.

Με βρεγμένα χέρια, μετά από τα 30 λεπτά, τεντώνουμε την ζύμη μερικές φορές αναδιπλώνοντας την.

Αφήνουμε στο μπολ για 2 ώρες ακόμα ή μέχρι να διπλασιαστεί σε μέγεθος

Προθερμαίνουμε τον φούρνο στους 200°C. Βάζουμε στον πάτο του φούρνου ένα παλιό ταψί, που δεν χρησιμοποιούμε, ώστε να ζεσταθεί όσο προθερμαίνουμε τον φούρνο.

Όταν φουσκώσει ακουμπάμε την ζύμη σε λαδωμένη επιφάνεια. Με ένα μαχαίρι κόβουμε σε κομμάτια ίδιου μεγέθους. Με απαλές κινήσεις και χωρίς να ζυμώνουμε δίνουμε στο κάθε κομμάτι ορθογώνιο σχήμα και βάζουμε πάνω σε ταψί που έχουμε στρώσει λαδόκολλα. Δεν θέλουμε να τα πιέσουμε διότι θα χαθούν οι φουσκάλες που έχουν σχηματιστεί κατά το φούσκωμα.

Βάζουμε κατευθείαν στον φούρνο. Αμέσως μετά ρίχνουμε το κρύο νερό στο ταψί που είχαμε ζεστάνει και κλείνουμε κατευθείαν την πόρτα του φούρνου. Έτσι θα δημιουργήσουμε υδρατμούς που θα μας βοηθήσουν να κάνουμε μία πιο μαλακή κόρα.

Ψήνουμε για 30-40 λεπτά ή μέχρι να ροδίσει και να είναι καλά ψημένο το ψωμί μας. Βγάζουμε από τον φούρνο και κατευθείαν μεταφέρουμε σε σχάρα. Αφήνουμε να κρυώσουν καλά.

⇒ Για την σάλτσα ντομάτας:
Σε μια κατσαρόλα ζεσταίνουμε το ελαιόλαδο. Προσθέτουμε το σκόρδο και μαγειρεύουμε για 5 λεπτά σε μέτρια φωτιά, ανακατεύοντας κατά διαστήματα, μέχρι να ροδίσει.

Προσθέτουμε τον πελτέ ντομάτας και μαγειρεύουμε για 1 λεπτό ανακατεύοντας ώστε να μην καεί. Ρίχνουμε τις αποφλοιωμένες ντομάτες και τις λιώνουμε με ένα πιρούνι μέσα στην κατσαρόλα.

Προσθέτουμε τη ζάχαρη, το βασιλικό, αλατοπιπερώνουμε, ανακατεύουμε και αφήνουμε το μείγμα να πάρει μια βράση.

Χαμηλώνουμε τη φωτιά και σιγοβράζουμε ανακατεύοντας κατά διαστήματα για 30 λεπτά ή μέχρι η σάλτσα να δέσει. Δοκιμάζουμε και αλατοπιπερώνουμε ανάλογα τις προτιμήσεις μας.

⇒ Για τα sandwich:
Χρειαζόμαστε 3 μπολ. Στο 1ο ρίχνουμε το αλεύρι, στο 2ο την τριμμένη φρυγανιά μαζί με την αποξηραμένη ρίγανη και το σκόρδο και στο 3ο τα αυγά με λίγο αλάτι και πιπέρι.

Πανάρουμε τις φέτες της μελιτζάνας αρχικά στο αλεύρι, τινάζοντας να φύγει το παραπανίσιο πριν πάμε στο επόμενο μπολ. Συνεχίζουμε με το αυγό και τέλος με την φρυγανιά.

Βάζουμε ένα αντικολλητικό τηγάνι σε μέτρια προς δυνατή φωτιά και ρίχνουμε ελαιόλαδο ώστε να καλύψει επαρκώς τον πάτο. Αφήνουμε να ζεσταθεί καλά. Τηγανίζουμε τις μελιτζάνες 3-4 λεπτά από κάθε πλευρά μέχρι να χρυσίσουν. Αν δούμε πως μας καίγονται χαμηλώνουμε την φωτιά και συνεχίζουμε.

Για να συναρμολογήσουμε το sandwich κόβουμε ένα καρβελάκι στην μέση, βάζουμε 3-4 φέτες μελιτζάνας, αλατίζουμε ελαφρώς, από πάνω λίγη παρμεζάνα, 2-3 κ. σούπας σάλτσα ντομάτας και στο τέλος 3-4 λεπτές φέτες mozzarella. Τέλος ραντίζουμε με ελάχιστο ελαιόλαδο και αν θέλουμε βάζουμε μερικά φύλλα βασιλικού.